Question

18．已知函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx+2{cos^2}x-{sin^2}x$
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若$f（α）=2，α∈[{\frac{π}{12}，\frac{5π}{12}}]$，求cos2α的值．

Answer 1

分析 （1）化簡函數(shù)f（x）為正弦型函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性寫出它的單調(diào)增區(qū)間；
（2）根據(jù)f（x）的解析式，結(jié)合α的取值范圍，利用三角函數(shù)關(guān)系即可求出cos2α的值．

解答 解：（1）函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx+2{cos^2}x-{sin^2}x$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+2•$\frac{1+cos2x}{2}$-$\frac{1-cos2x}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{3}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$
=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$，
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得-$\frac{5π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{π}{12}$+kπ，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z；
（2）∵f（α）=$\sqrt{3}$sin（2α+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$=2，
∴sin（2α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又α∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]，
∴$\frac{π}{2}$≤2α+$\frac{π}{3}$≤$\frac{7π}{6}$，
∴2α+$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$，
∴2α=$\frac{π}{3}$，
∴cos2α=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的化簡求值以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．