Question

9．已知圓O：x²+y²=r²的任意一條切線l與橢圓$M：\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$都有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B．
（1）求圓O半徑r的取值范圍；
（2）是否存在圓O，滿足OA⊥OB恒成立？若存在，求出圓O的方程及$|{\overrightarrow{OA}}|•|{\overrightarrow{OB}}|$的最大值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）要使圓O：x²+y²=r²的任意一條切線l與橢圓$M：\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$都有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則圓必在橢圓的內(nèi)部即可．
（2）設(shè)出切線的方程，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和兩直線垂直的條件，化簡(jiǎn)整理，即可得到半徑r的值．由OA⊥OB，即$|{\overrightarrow{OA}}|•|{\overrightarrow{OB}}|$=r•AB，可得$|{\overrightarrow{OA}}|•|{\overrightarrow{OB}}|$的最大值．

解答 解：（1）要使圓O：x²+y²=r²的任意一條切線l與橢圓$M：\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$都有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
則圓必在橢圓的內(nèi)部，∴0＜r＜$\sqrt{3}$．
（2）設(shè)圓的切線方程y=kx+m，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-6=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁+x₂=$\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-6}{1+2{k}^{2}}$．
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=$\frac{{m}^{2}-6{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$．
∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0⇒m²=2k²+2，…①
∵y=kx+m與圓O：x²+y²=r²相切，∴r²=$\frac{{m}^{2}}{1+{k}^{2}}$…②
由①②得r²=2，此時(shí)圓的方程為：x²+y²=2，
當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，切線方程為x=±$\sqrt{2}$
A（$\sqrt{2}，\sqrt{2}$），B（$\sqrt{2}，-\sqrt{2}$）或A（-$\sqrt{2，}\sqrt{2}$），B（-$\sqrt{2，}-\sqrt{2}$）滿足條件
∴圓的方程為：x²+y²=2
∵|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$2\sqrt{2}\sqrt{1+\frac{1}{4{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+4}}≤3$，
當(dāng)直線AB的斜率不存在或?yàn)?時(shí)，|AB|=2$\sqrt{2}$．
∴|AB|≤3
∵OA⊥OB，∴$|{\overrightarrow{OA}}|•|{\overrightarrow{OB}}|$=r•AB，
$|{\overrightarrow{OA}}|•|{\overrightarrow{OB}}|$的最大值3$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 考查直線和圓相切，以及直線和橢圓聯(lián)立運(yùn)用韋達(dá)定理和兩直線垂直的條件：數(shù)量積為0，考查化解在合理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．