Question

19．已知△AOB是以原點O為直角頂點的拋物線x²=2py（p＞0）的內(nèi)接直角三角形（如圖），求△AOB面積的最小值．

Answer 1

分析 由題意設(shè)出OA所在直線方程，得到OB所在直線方程，聯(lián)立兩直線方程與拋物線方程求得A，B的坐標，得到AB所在直線的斜率，寫出AB所在直線方程，求出AB與y軸交點的坐標，把△AOB的面積用含有OA的斜率的代數(shù)式表示，然后利用基本不等式求得最小值．

解答 解：△AOB中，A，B是斜邊與拋物線的兩個交點，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線OA斜率為k（k＞0），方程為y=kx，
則直線OB斜率為$-\frac{1}{k}$，方程為y=-$\frac{1}{k}x$，
設(shè)AB所在直線斜率為k₀，
∵A，B在拋物線x²=2py上，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=2py}\\{y=kx}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2pk}\\{{y}_{1}=2p{k}^{2}}\end{array}\right.$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=2py}\\{y=-\frac{1}{k}x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-\frac{2p}{k}}\\{{y}_{2}=\frac{2p}{{k}^{2}}}\end{array}\right.$，
${k}_{0}=\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}=\frac{\frac{2p}{{k}^{2}}-2p{k}^{2}}{-\frac{2p}{k}-2pk}=\frac{{k}^{2}-1}{k}$，
∴AB所在直線方程為$y-2p{k}^{2}=\frac{{k}^{2}-1}{k}（x-2pk）$，
整理得：（k²-1）x-ky+2pk=0．
設(shè)AB與y軸交于C（0，y_C），令x=0，得：y_C=2p，
∴|OC|=2P，
則△AOB面積為S=$\frac{1}{2}|OC||{x}_{1}-{x}_{2}|$，
則S=$\frac{1}{2}×2p×（2pk+\frac{2p}{k}）=2{p}^{2}（k+\frac{1}{k}）$ $≥2{p}^{2}×2\sqrt{k•\frac{1}{k}}=4{p}^{2}$．
當且僅當$k=\frac{1}{k}$，即k=1時上式等號成立．
∴△AOB面積的最小值為4p²．

點評 本題主要考查了拋物線的應(yīng)用，平面解析式的基礎(chǔ)知識．考查了考生的基礎(chǔ)知識的綜合運用和知識遷移的能力，考查了計算能力，是中檔題．