Question

7．已知點(diǎn)P是拋物線y²=6x上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，A（$\frac{7}{2}$，2$\sqrt{3}$）為定點(diǎn)，則|PA|+|PF|的最小值是5，取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，2$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 作PM⊥準(zhǔn)線l，M為垂足，由拋物線的定義可得|PA|+|PF|=|PA|+|PM|，故當(dāng)P，A，M三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|+|PM|最小為|AM|，此時(shí)，P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2$\sqrt{3}$，代入拋物線的方程可求得P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，從而得到P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：由題意可得F（$\frac{3}{2}$，0 ），準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{3}{2}$，
作PM⊥準(zhǔn)線l，M為垂足，
由拋物線的定義可得|PA|+|PF|=|PA|+|PM|，
故當(dāng)P，A，M三點(diǎn)共線時(shí)，
|PA|+|PM|最小為|AM|=$\frac{7}{2}$-（-$\frac{3}{2}$）=5，
此時(shí)，P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2$\sqrt{3}$，代入拋物線的方程
可求得P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，
故P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2$\sqrt{3}$），
故答案為：5，（2，2$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，判斷當(dāng)P，A，M三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|+|PM|最小為|AM|，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．