Question

11．已知拋物線y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線方程為x=-1，斜率為1的直線過拋物線的焦點(diǎn)F，且與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長度．

Answer 1

分析 拋物線y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線方程為x=-1，可得$\frac{p}{2}$=1，解得p可得：拋物線方程為y²=4x，直線AB的方程為：y=x-1．與拋物線方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長公式即可得出．

解答 解：∵拋物線y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線方程為x=-1，
∴$\frac{p}{2}$=1，解得p=2．
∴拋物線方程為y²=4x，直線AB的方程為：y=x-1．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化為x²-6x+1=0．
∴x₁+x₂=6，x₁x₂=1，
∴|AB|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{2（{6}^{2}-4）}$=8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．