Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{t•{3^x}-1}}{{{3^x}+1}}（{t∈R}）$是奇函數(shù)．
（1）求t的值；
（2）求f（x）的反函數(shù)f^-1（x）；
（3）對于任意的m＞0，解不等式：f^-1（x）＞log₃$\frac{1+x}{m}$．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)f（x）=$\frac{{t•{3^x}-1}}{{{3^x}+1}}（{t∈R}）$是奇函數(shù)，可得f（0）=0，解得t，并驗證是否滿足條件即可．
（2）由（1）可得：y=f（x）=$\frac{{3}^{x}-1}{{3}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{3}^{x}+1}$，可得y∈（-1，1）．化為3^x=$\frac{1+y}{1-y}$（y≠1），把x與y互換可得${3}^{y}=\frac{1+x}{1-x}$，兩邊取對數(shù)即可得出反函數(shù)．
（3）對于任意的m＞0，解不等式：f^-1（x）＞log₃$\frac{1+x}{m}$．（x∈（-1，1））．化為$\frac{1+x}{1-x}$＞$\frac{1+x}{m}$，又x∈（-1，1））．化為m＞1-x，對m分類討論即可得出．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{{t•{3^x}-1}}{{{3^x}+1}}（{t∈R}）$是奇函數(shù)，∴f（0）=$\frac{t-1}{2}$=0，解得t=1，經(jīng)過驗證滿足條件，∴t=1．
（2）由（1）可得：y=f（x）=$\frac{{3}^{x}-1}{{3}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{3}^{x}+1}$，可得y∈（-1，1）．
解得3^x=$\frac{1+y}{1-y}$（y≠1），把x與y互換可得${3}^{y}=\frac{1+x}{1-x}$，∴y=$lo{g}_{3}\frac{1+x}{1-x}$，（x∈（-1，1））．
∴f（x）的反函數(shù)f^-1（x）=$lo{g}_{3}\frac{1+x}{1-x}$，（x∈（-1，1））．
（3）對于任意的m＞0，解不等式：f^-1（x）＞log₃$\frac{1+x}{m}$．（x∈（-1，1））．
即$lo{g}_{3}\frac{1+x}{1-x}$＞log₃$\frac{1+x}{m}$．
∴$\frac{1+x}{1-x}$＞$\frac{1+x}{m}$，
又∵x∈（-1，1））．
∴m＞1-x，
當0＜m≤2時，解得1＞x＞1-m．
當m＞2時，解得1＞x＞-1．
∴不等式：f^-1（x）＞log₃$\frac{1+x}{m}$的解集為：
當0＜m≤2時，解集為（1-m，1）；
當m＞2時，解集為（-1，1）．

點評 本題考查了反函數(shù)的求法、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解法，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．