Question

19．已知拋物線y²=4x與雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-{y^2}=1$的一個交點為M，F(xiàn)為拋物線的焦點，若MF=3，則該雙曲線的離心率為$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 求得拋物線的焦點和準(zhǔn)線方程，設(shè)M（m，n），則由拋物線的定義可得m=3，進(jìn)而得到M的坐標(biāo)，代入雙曲線的方程，可得a，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：拋物線y²=4x的焦點F（1，0），準(zhǔn)線方程為x=-1，
設(shè)M（m，n），則由拋物線的定義可得|MF|=m+2=3，解得m=1，
由n²=4，可得n=±2．
將M（1，±2）代入雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-{y^2}=1$，
解得a²=$\frac{1}{5}$，
所以a=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，c=$\frac{\sqrt{30}}{5}$
即有雙曲線的離心率為$\sqrt{6}$．
故答案為：$\sqrt{6}$．

點評 本題考查拋物線和雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，主要考查拋物線的定義和雙曲線的漸近線方程，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．