Question

20．f（x）=ax²+2（a-1）x+2在（-∞，4]上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（　�。�

• A． $a≤\frac{1}{5}$
• B． $a≥\frac{1}{5}$
• C． $0＜a≤\frac{1}{5}$
• D． $0≤a≤\frac{1}{5}$

Answer 1

分析 對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，函數(shù)在（-∞，2）上單調(diào)遞減，可知導(dǎo)數(shù)在（-∞，2）上導(dǎo)數(shù)值小于等于0，可求出a的取值范圍

解答 解：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)y′=2ax+2（a-1），函數(shù)在（-∞，4]上單調(diào)遞減，
則導(dǎo)數(shù)在（-∞，4]上導(dǎo)數(shù)值小于等于0，
當(dāng)a=0時(shí)，y′=-2，恒小于0，符合題意；
當(dāng)a≠0時(shí)，因函導(dǎo)數(shù)是一次函數(shù)，故只有a＞0，且最小值為y′=2a×4+2（a-1）≤0，
解得：0＜a≤$\frac{1}{5}$，
∴a∈[0，$\frac{1}{5}$]，
解法二、當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-2x+2遞減成立；
當(dāng)a＞0時(shí)，對(duì)稱軸為x=$\frac{1-a}{a}$，由題意可得：$\frac{1-a}{a}$≥4，解得0＜a≤$\frac{1}{5}$，
當(dāng)a＜0不成立．
∴a∈[0，$\frac{1}{5}$]．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要二次函數(shù)的性質(zhì)、考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解和單調(diào)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．