Question

8．已知橢圓C₁：$\frac{x^2}{{{a_1}^2}}+\frac{y^2}{{{b_1}^2}}=1（{a_1}＞{b_1}＞0）$與雙曲線C₂：$\frac{x^2}{{{a_2}^2}}-\frac{y^2}{{{b_2}^2}}=1（{a_2}＞0，{b_2}＞0）$有相同的焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且PF₁⊥PF₂，e₁，e₂分別是兩曲線C₁，C₂的離心率，當(dāng)4e₁²+e₂²取得最小值時(shí)，C₁的離心率e₁等于（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 由題意設(shè)焦距為2c，橢圓長軸長為2a₁，雙曲線實(shí)軸為2a₂，令P在雙曲線的右支上，由已知條件結(jié)合雙曲線和橢圓的定義推志出a₁²+a₂²=2c²，由此能求出4e₁²+e₂²的最小值及對(duì)應(yīng)e₁．

解答 解：由題意設(shè)焦距為2c，橢圓長軸長為2a₁，雙曲線實(shí)軸為2a₂，
令P在雙曲線的右支上，
由雙曲線的定義|PF₁|-|PF₂|=2a₂，①
由橢圓定義|PF₁|+|PF₂|=2a₁，②
又∵PF₁⊥PF₂，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=4c²，③
①²+②²，得|PF₁|²+|PF₂|²=2a₁²+2a₂²，④
將④代入③，得a₁²+a₂²=2c²，
∴4e₁²+e₂²=$\frac{4{c}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}$+$\frac{{c}^{2}}{{{a}_{2}}^{2}}$=$\frac{4（{{a}_{1}}^{2}+{{a}_{2}}^{2}）}{2{{a}_{1}}^{2}}$+$\frac{{{a}_{1}}^{2}+{{a}_{2}}^{2}}{2{{a}_{2}}^{2}}$=$\frac{5}{2}$+$\frac{2{{a}_{2}}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}$+$\frac{{{a}_{1}}^{2}}{2{{a}_{2}}^{2}}$
≥$\frac{5}{2}$+2$\sqrt{\frac{2{{a}_{2}}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}•\frac{{{a}_{1}}^{2}}{2{{a}_{2}}^{2}}}$=$\frac{9}{2}$．
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{2{{a}_{2}}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}$=$\frac{{{a}_{1}}^{2}}{2{{a}_{2}}^{2}}$，即為a₁²=2a₂²，
即有a₁²=$\frac{{{a}_{1}}^{2}+{{a}_{2}}^{2}}{2{{a}_{1}}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，即e₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$時(shí)，取得最小值$\frac{9}{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查4e₁²+e₂²的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要熟練掌握雙曲線、橢圓的定義，注意均值定理的合理運(yùn)用．