Question

20．四棱錐E-ABCD中，AD∥BC，AD=AE=2BC=2AB=2，AB⊥AD，平面EAD⊥平面ABCD，點F為DE的中點．
（Ⅰ）求證：CF∥平面EAB；
（Ⅱ）若CF⊥AD，求四棱錐E-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （1）取AE中點G，連接GF，GB，則EF$\stackrel{∥}{=}\frac{1}{2}AD\stackrel{∥}{=}BC$，故四邊形BCFG是平行四邊形，于是CF∥BG，得出CF∥平面EAB；
（2）由CF⊥AD得出BG⊥AD，又AB⊥AD，故AD⊥平面EAB，于是AD⊥EA，由面面垂直的性質(zhì)得出EA⊥平面ABCD，即EA棱錐E-ABCD的高．

解答 證明：（I）取AE中點G，連接GF，GB，
∵F是ED的中點，
∴GF$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AD，
有∵BC$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AD，
∴GF$\stackrel{∥}{=}BC$，
∴四邊形BCFG是平行四邊形，
∴GB∥CF，又BG?平面EAB，CF?平面EAB，
∴CF∥平面EAB，
（2）∵CF⊥AD，CF∥BG，
∴BG⊥AD，又AB⊥AD，BG?平面EAB，AB?平面EAB，BG∩AB=B，
∴AD⊥平面EAB，∵EA?平面AEB，
∴AD⊥EA，
又平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD=AD，EA?平面EAD，
∴EA⊥平面ABCD，
∴V_E-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{梯形ABCD}•EA$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（1+2）×1×2$=1．

點評 本題考查了線面平行的判定，面面垂直的性質(zhì)，棱錐的體積計算，屬于中檔題．