Question

4．已知函數(shù)f（x）=x²+bx+2，g（x）=|x²-1|，x∈R．
（1）若函數(shù)f（x）滿足f（x+3）=f（-x），求實數(shù)b的值；
（2）在（1）的條件下，求使不等式g（x）≤f（x）成立的x的取值集合；
（3）若函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）+2在（0，2）上有兩個不同的零點x₁，x₂，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（3+x）=f（-x），可得二次函數(shù)的對稱軸為x=$\frac{3}{2}$，即可求得b的值；
（2）代入f（x），將g（x）分類討論去掉絕對值，再分類討論，根據(jù)不同的解析式列出不等式求解，即可得到答案；
（3）將h（x）的解析式表示出來，分b=0和b≠0分類研究，當(dāng)b=0時，不合題意，當(dāng)b≠0時，根據(jù)h（x）的單調(diào)性，確定ϕ（x）在（0，1）上至多一個零點，不妨設(shè)0＜x₁＜x₂＜2，對0＜x₁＜1，1≤x₂＜2時，及1≤x₁＜x₂＜2時分別進行求解，即可得到實數(shù)b的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（3+x）=f（-x）
∴函數(shù)f （x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{3}{2}$對稱，
∵f（x）=x²+bx+2，
∴-$\frac{2}$=$\frac{3}{2}$，解得b=-3，
（2）f（x）=x²-3x+2，g（x）=|x²-1|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-1，x≤-1或x≥1}\\{1-{x}^{2}，-1＜x＜1}\end{array}\right.$，
①當(dāng)x≤-1，或x≥1時，
∵f（x）≥g（x），
∴x²-3x+2≥x²-1，解得x≤1，
∴此時x的范圍為x≤-1，或x=1；
②當(dāng)-1＜x＜1時，
∵f（x）≥g（x），
∴x²-3x+2≥1-x²，解得x≤$\frac{1}{2}$或x≥1，
∴此時x的范圍為-1＜x≤$\frac{1}{2}$．
∴綜合①②可得，使不等式f（x）≥g（x）成立的x的取值集合為{x|x≤$\frac{1}{2}$或x=1}．
（3）∵h（x）=f（x）+g（x）+2，且f（x）=x²+bx+2，g（x）$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-1，x≤-1或x≥1}\\{1-{x}^{2}，-1＜x＜1}\end{array}\right.$，
∴h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}+bx+3，x≤-1或x≥1}\\{bx+5，-1＜x＜1}\end{array}\right.$，
若b=0時，h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}+3，x≤-1或x≥1}\\{5，-1＜x＜1}\end{array}\right.$，顯然h（x）＞0恒成立，不滿足條件；
若b≠0時，函數(shù)ϕ（x）=bx+5在（0，1）上是單調(diào)函數(shù)，即ϕ（x）在（0，1）上至多一個零點，不妨設(shè)0＜x₁＜x₂＜2，
①當(dāng)0＜x₁＜1，1≤x₂＜2時，則ϕ（0）ϕ（1）＜0，且h（1）h（2）≤0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b+5＜0}\\{（b+5）（2b+11）≤0}\end{array}\right.$，解得-$\frac{11}{2}$≤b＜-5；
經(jīng)檢驗b=-$\frac{11}{2}$時，h（x）的零點為$\frac{10}{11}$，2（舍去），
∴-$\frac{11}{2}$＜b＜-5．
②當(dāng)1≤x₁＜x₂＜2時，
∵ϕ（x）在（0，1）上至多一個零點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b+5≥0}\\{2b+11＞0}\\{-8＜b＜-4}\\{b＜-2\sqrt{6}或b＞2\sqrt{6}}\end{array}\right.$，解得-5≤b＜-2$\sqrt{6}$．
∴綜上所述，b的取值范圍為-$\frac{11}{2}$＜b＜-2$\sqrt{6}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，對于二次函數(shù)要注意數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，注意抓住二次函數(shù)的開口方向，對稱軸，以及判別式的考慮．考查了函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系．函數(shù)的零點等價于對應(yīng)方程的根，等價于函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標，解題時要注意根據(jù)題意合理的選擇轉(zhuǎn)化．屬于中檔題．