Question

12．某品牌專賣店準備在五一期間舉行促銷活動，根據(jù)市場調(diào)查，該店決定從4種不同品牌的洗衣機，2種不同品牌的電視機和3種不同品牌的空調(diào)中，選出4種不同品牌的商品進行促銷，該店對選出的商品采用的促銷方案是有獎銷售，即在該商品現(xiàn)價的基礎上將價格提高200元，同時，若顧客購買任何一種品牌的商品，則允許有3次抽獎的機會，若中獎，則每次中獎都獲得m（m＞0）元獎金．假設顧客每次抽獎時獲獎的概率都是$\frac{2}{3}$．
（1）求選出的4種不同品牌商品中，洗衣機、電視機、空調(diào)都至少有一種且至多有兩種品牌的概率；
（2）設顧客在3次抽獎中所獲得的獎金總額（單位：元）為隨機變量X．請寫出X的分布列和數(shù)學期望；
（3）在（2）的條件下，問該店若想采用此促銷方案獲利，則每次中獎獎金要低于多少元？

Answer 1

分析 （1）由題意可得P=$\frac{{∁}_{4}^{2}{∁}_{2}^{1}{∁}_{3}^{1}+{∁}_{4}^{1}{∁}_{2}^{2}{∁}_{3}^{1}+{∁}_{4}^{1}{∁}_{2}^{1}{∁}_{3}^{2}}{{∁}_{4}^{1}{∁}_{2}^{1}{∁}_{3}^{1}{∁}_{6}^{1}}$．
（2）由題意可得：X=0，m，2m，3m．X～N$（3，\frac{2}{3}）$，P（X=k）=${∁}_{3}^{k}（\frac{2}{3}）^{k}（1-\frac{2}{3}）^{3-k}$（k=0，1，2，3），再利用數(shù)學期望計算公式即可得出．
（3）由（2）可得：2m＜200，解出即可．

解答 解：（1）由題意可得P=$\frac{{∁}_{4}^{2}{∁}_{2}^{1}{∁}_{3}^{1}+{∁}_{4}^{1}{∁}_{2}^{2}{∁}_{3}^{1}+{∁}_{4}^{1}{∁}_{2}^{1}{∁}_{3}^{2}}{{∁}_{4}^{1}{∁}_{2}^{1}{∁}_{3}^{1}{∁}_{6}^{1}}$=$\frac{9}{28}$．
（2）由題意可得：X=0，m，2m，3m．X～N$（3，\frac{2}{3}）$．
P（X=k）=${∁}_{3}^{k}（\frac{2}{3}）^{k}（1-\frac{2}{3}）^{3-k}$（k=0，1，2，3）．
∴E（X）=0+$m•{∁}_{3}^{1}（\frac{2}{3}）^{1}（\frac{1}{3}）^{2}$+2m${∁}_{3}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}×\frac{1}{3}$+$3m×{∁}_{3}^{3}（\frac{2}{3}）^{3}$=2m．
（3）由（2）可得：2m＜200，∴m＜100．
該店若想采用此促銷方案獲利，則每次中獎獎金要低于100元．

點評 本題考查了古典概率計算公式、二項分布列及其數(shù)學期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．