Question

對(duì)定義域?yàn)镈的函數(shù)，若存在距離為d的兩條平行直線l _l：y=kx+m_l和l ₂：y=kx+m₂（m_l＜m₂），使得當(dāng)x∈D時(shí)，kx+m₁≤f（x）≤kx+m₂恒成立，則稱函數(shù)f（x）在（x∈D）有一個(gè)寬度為d的通道．有下列函數(shù)：
①f（x）=

1

x

；②f（x）=sinx；③f（x）=

x2-1

；④f（x）=x³+1
其中在[1，+∞）上有一個(gè)通道寬度為1的函數(shù)題號(hào)

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①只需考慮反比例函數(shù)在[1，+∞）上的值域即可，
②要分別考慮函數(shù)的值域和圖象性質(zhì)，
③則需從函數(shù)圖象入手，尋找符合條件的直線，
④考慮冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，才可做出正確判斷．

解答： 解：①當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，0＜

1

x

≤1，此時(shí)存在直線y=0，y=1，滿足兩直線的距離d=1，使0≤f（x）≤1恒成立，
故在[1，+∞）有一個(gè)寬度為1的通道，∴①滿足條件．
②當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，-1≤sinx≤1，則函數(shù)值的最大值和最小值之間的距離d=2，
故在[1，+∞）不存在一個(gè)寬度為1的通道；
③當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，f（x）=

x2-1

表示雙曲線x²-y²=1在第一象限的部分，雙曲線的漸近線為y=x，故可取另一直線為y=x-

2

，
滿足兩直線的距離d=1，使x≤f（x）≤x-

2

恒成立，∴③滿足在[1，+∞）有一個(gè)寬度為1的通道；
④當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，f（x）=x³+1≥2，且函數(shù)單調(diào)遞增，故在[1，+∞）不存在一個(gè)寬度為1的通道；
故答案為：①③

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了對(duì)新定義性質(zhì)的理解和運(yùn)用，熟知已知四個(gè)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的推理和判斷能力．