Question

17．五點(diǎn)法作函數(shù)$f（x）=Asin（{ωx+φ}）（{A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}}）$的圖象時(shí)，所填的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下：

x	-$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{5π}{6}$	$\frac{4π}{3}$	$\frac{11π}{6}$
ωx+φ	-$\frac{π}{2}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$
y	-1	1	3	1	-1

（1）根據(jù)表格提供數(shù)據(jù)求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當(dāng)$x∈[{\frac{π}{3}，π}]$時(shí)，方程f（x）=m恰有兩個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由表中的最大值和最小值可得A的值，通過(guò)$\frac{11π}{6}-（-\frac{π}{6}）$=T，可求ω．根據(jù)對(duì)稱中點(diǎn)坐標(biāo)可知B=1，圖象過(guò)（-$\frac{π}{6}，-1$）帶入求解φ，可得函數(shù)f（x）的解析式．
（2）當(dāng)$x∈[{\frac{π}{3}，π}]$時(shí)，求解內(nèi)層的范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合法，f（x）=m恰有兩個(gè)不同的解，轉(zhuǎn)化為f（x）與y=m圖象有兩個(gè)交點(diǎn)的問(wèn)題求解即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：由表中的最大值為3，最小值為-1，可得A=$\frac{3-（-1）}{2}=2$，
由$\frac{11π}{6}-（-\frac{π}{6}）$=T，則T=2π．
∴$ω=\frac{2π}{T}=1$，
∵y=2sin（ωx+φ）的最大值是2，故得B=3-2=1．
此時(shí)函數(shù)f（x）=2sin（x+φ）+1．
∵圖象過(guò)（-$\frac{π}{6}，-1$）帶入可得：-1=2sin（$-\frac{π}{6}$+φ）+1，
可得：φ$-\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{2}+2kπ$，（k∈Z）．
解得：φ=$2kπ-\frac{π}{3}$，
∵$-\frac{π}{2}＜$φ$＜\frac{π}{2}$，
∴φ=-$\frac{π}{3}$．
故得函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=2sin（x-$\frac{π}{3}$）+1
（2）當(dāng)$x∈[{\frac{π}{3}，π}]$時(shí)，
則x-$\frac{π}{3}$∈[0，$\frac{2π}{3}$]，
令u=x-$\frac{π}{3}$，u∈[0，$\frac{2π}{3}$]，
則y=2sinu+1的圖象與與y=m圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．
從圖象可以看出：
當(dāng)x=$\frac{2π}{3}$時(shí)，函數(shù)f（$\frac{2π}{3}$）=$\sqrt{3}+1$，
y=2sinu+1的圖象與與y=m圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．
那么：$3＞m≥\sqrt{3}+1$．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是[$\sqrt{3}+1$，3）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．要求熟練掌握函數(shù)圖象之間的變化關(guān)系．