Question

9．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$與y軸交于B₁、B₂兩點，F(xiàn)₁為橢圓C的左焦點，且△F₁B₁B₂是腰長為$\sqrt{2}$的等腰直角三角形．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線x=my+1與橢圓C交于P、Q兩點，點P關(guān)于x軸的對稱點為P₁（P₁與Q不重合），則直線P₁Q與x軸是否交于一個定點？若是，請寫出該定點坐標(biāo)，并證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件求出b=c，a=$\sqrt{2}$，則b=1，推出橢圓C的方程．
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），P₁（x₁，-y₁）聯(lián)立x=my+1與$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，利用韋達(dá)定理得，轉(zhuǎn)化求解直線方程，即可推出結(jié)果．

解答 解：（1）橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$與y軸交于B₁、B₂兩點，
F₁為橢圓C的左焦點，且△F₁B₁B₂是腰長為$\sqrt{2}$的等腰直角三角形．可得b=c，a=$\sqrt{2}$，則b=1，
橢圓C的方程：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（2）設(shè)P（x₁，y₁）Q（x₂，y₂）P₁（x₁，-y₁）
由直線x=my+1與$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$聯(lián)立得，（m²+2）y²+2my-1=0
韋達(dá)定理得，${y_1}+{y_2}=\frac{-2m}{{{m^2}+2}}，{y_1}{y_2}=\frac{-1}{{{m^2}+2}}$
而直線PQ的方程為$y-{y_2}=\frac{{{y_2}+{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}（x-{x_2}）$，令y=0，則$x=\frac{{{x_1}{y_2}+{x_2}{y_1}}}{{{y_1}+{y_2}}}=\frac{{（m{y_1}+1）{y_2}+（m{y_2}+1）{y_1}}}{{{y_1}{y_2}}}=2m\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{y_1}+{y_2}}}+1=2$，
所以直線PQ過定點（2，0）．

點評 本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，直線恒過定點問題的處理方法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．