Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=

3

5

，a_n=2-

1

an-1

（n≥2，n∈N₊）．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{

1

an-1

}為等差數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）直接把已知的數(shù)列遞推式變形，得到

1

an-1

-

1

an-1-1

=1得結(jié)論；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中結(jié)論求出數(shù)列{

1

an-1

}的通項(xiàng)公式，則答案可求．

解答： （Ⅰ）證明：由an=2-

1

an-1

(n≥2)，
得an-1=1-

1

an-1

=

an-1-1

an-1

，
∴

1

an-1

=

an-1

an-1-1

=

an-1-1+1

an-1-1

=1+

1

an-1-1

即{

1

an-1

}是公差為1的等差數(shù)列；
（Ⅱ）∵a1=

3

5

，
∴a1-1=-

2

5

，
∴

1

a1-1

=-

5

2

．
∴

1

an-1

=-

5

2

+(n-1)•1=

2n-7

2

．
則an=

2n-5

2n-7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，是中檔題．