Question

在等差數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₅=9．
（1）求a₃；
（2）記b_n=2^a_n，證明：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（3）對于（2）中的S_n，求函數(shù)f（n）=S_n-t•2ⁿ（n∈N^*，t為常數(shù)且t∈[0，8]）的最小值g（t）．

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合,等比關系的確定

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等差數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₅=9，可求a₃；
（2）當n≥2時，

bn

bn-1

=

2an

2an-1

=2an-an-1=2，可得數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（3）f(n)=

2

3

(4n-1)-t•2n=

2

3

(2n-

3t

4

)2-

3

8

t2-

2

3

，即可求函數(shù)f（n）=S_n-t•2ⁿ（n∈N^*，t為常數(shù)且t∈[0，8]）的最小值g（t）．

解答： 解：（1）a3=

a1+a5

2

=5---------（2分）
（2）由a₁=1，a₅=9得，a_n=2n-1
當n≥2時，

bn

bn-1

=4，
所以數(shù)列{b_n}是以2為首項，4為公比的等比數(shù)列-------（5分）
（3）由（2）可得，Sn=

2(1-4n)

1-4

=

2

3

(4n-1)------（7分）
所以，f(n)=

2

3

(4n-1)-t•2n=

2

3

(2n-

3t

4

)2-

3

8

t2-

2

3

∵t∈[0，8]，∴

3

4

t∈[0，6]，而n∈N^*
所以，當0≤t≤4時，f（n）_min=f（1）=-2t+2
當4＜t≤8時，f（n）_min=f（2）=-4t+10
故g(t)=

-2t+2    (0≤t≤4) -4t+10    (4＜t≤8)

----------（10分）

點評：本題考查等比數(shù)列的證明，考查函數(shù)的最值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．