Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|x²-2x|（x∈R）．
（1）在區(qū)間[-2，3]上畫出函數(shù)f（x）的圖象；
（2）根據(jù)圖象寫出該函數(shù)在[-2，3]上的單調(diào)區(qū)間；
（3）方程f（x）=a有兩個不同的實數(shù)根，求a的取值范圍．（只寫答案即可）

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）函數(shù)f（x）=|x²-2x|的圖象由函數(shù)f（x）=x²-2x做一次縱向?qū)φ圩儞Q得到，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，及函數(shù)圖象的對折變換，可得區(qū)間[-2，3]上畫出函數(shù)f（x）的圖象；
（2）根據(jù)圖象上升對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，圖象下降對應(yīng)函數(shù)的減區(qū)間，可得函數(shù)在[-2，3]上的單調(diào)區(qū)間；
（3）方程f（x）=a的根的個數(shù)，即為函數(shù)f（x）=|x²-2x|的圖象與y=a交點的個數(shù)，結(jié)合函數(shù)的圖象可得滿足條件的a的取值范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=|x²-2x|的圖象由函數(shù)f（x）=x²-2x做一次縱向?qū)φ圩儞Q得到，
故函數(shù)的圖象如下圖所示：

…（7分）
（2）由（1）中函數(shù)f（x）=|x²-2x|的圖象可得：
函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[0，1]，[2，3]
函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為[-2，0]，[1，2]…（11分）
（3）方程f（x）=a的根的個數(shù)，即為函數(shù)f（x）=|x²-2x|的圖象與y=a交點的個數(shù)，
由圖象可知當(dāng)a=0或a＞1時，函數(shù)f（x）=|x²-2x|的圖象與y=a有兩個交點，
即方程f（x）=a有兩個實數(shù)根．…（14分）

點評：本題考查的知識點是二次函數(shù)的性質(zhì)，其中根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，及函數(shù)圖象的對折變換，畫出函數(shù)的圖象是解答的關(guān)鍵．