Question

已知圓M：x²+y²+8x+2y+1=0上存在A，B兩點(diǎn)關(guān)于直線l：ax+by+1=0，（a＞0，b＞0）對稱，則

1

a

+

4

b

的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用,基本不等式在最值問題中的應(yīng)用,直線與圓的位置關(guān)系

專題：不等式的解法及應(yīng)用,直線與圓

分析：圓x²+y²+8x+2y+1=0關(guān)于直線ax+by+1=0（a＞0，b＞0）對稱，說明直線經(jīng)過圓心，推出4a+b=1，代入

1

a

+

4

b

，利用基本不等式，確定最小值，推出選項(xiàng)．

解答： 解：圓M：x²+y²+8x+2y+1=0的圓心（-4，-2）．
由圓M：x²+y²+8x+2y+1=0上存在A，B兩點(diǎn)關(guān)于直線l：ax+by+1=0，（a＞0，b＞0）對稱，
可得，直線ax+by+1=0必過圓心（-4，-1），
所以4a+b=1．
所以

1

a

+

4

b

=（

1

a

+

4

b

）（4a+b）=4+4+

4a

b

+

4b

a

≥2

4a b • 4b a

+8=12，
當(dāng)且僅當(dāng)

4a

b

=

4b

a

，
即a=b時(shí)取等號，

1

a

+

4

b

的最小值為12．
故答案為：12．

點(diǎn)評：本題考查關(guān)于點(diǎn)、直線對稱的圓的方程，基本不等式，考查計(jì)算能力，是中檔題．