Question

4．求與點(diǎn)A（-2，2）、B（2，-2）距離都是1的直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

分析 當(dāng)直線(xiàn)l與直線(xiàn)AB平行時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l：x+y+a=0，由點(diǎn)A（-2，2）到直線(xiàn)l的距離公式求出a，從而求出直線(xiàn)方程；當(dāng)直線(xiàn)l與直線(xiàn)AB不平行，設(shè)直線(xiàn)l：kx-y=0，由點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式求出k，從而求出直線(xiàn)方程．

解答 解：∵點(diǎn)A（-2，2）、B（2，-2），
∴直線(xiàn)AB：$\frac{y+2}{x-2}=\frac{2+2}{-2-2}$，即x+y=0．
∵點(diǎn)A（-2，2）、B（2，-2）到直線(xiàn)l的距離都是1，
∴①直線(xiàn)l與直線(xiàn)AB平行，∵k_l=-1，
∴設(shè)直線(xiàn)l：x+y+a=0
點(diǎn)A（-2，2）到直線(xiàn)l的距離為：$\frac{|-2+2+a|}{\sqrt{2}}$=1，解得a=±$\sqrt{2}$，
點(diǎn)B（2，-2）到直線(xiàn)l的距離為：$\frac{|2-2+a|}{\sqrt{2}}=1$，解得a=±2，
∴直線(xiàn)l的方程為x+y-$\sqrt{2}$=0或x+y+$\sqrt{2}$=0；
②直線(xiàn)l與直線(xiàn)AB不平行，則A、B在直線(xiàn)l兩側(cè)，
此時(shí)直線(xiàn)l過(guò)AB的中點(diǎn)，即原點(diǎn)O（0，0），設(shè)直線(xiàn)l：kx-y=0
∵點(diǎn)A（-2，2）、B（2，-2）到直線(xiàn)l：kx-y=0距離都是1，
∴$\frac{|-2k-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，且$\frac{|2k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1
整理，得3k²+8k+3=0，解得k=$\frac{-4±\sqrt{7}}{3}$，
直線(xiàn)l的方程為y=$\frac{-4±\sqrt{7}}{3}x$．
綜上，直線(xiàn)l的方程為：x+y-$\sqrt{2}$=0或x+y+$\sqrt{2}$=0或y=$\frac{-4±\sqrt{7}}{3}x$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式的合理運(yùn)用．