Question

6．已知$\vec a$與$\vec b$為非零向量，$|\vec a+\vec b|=|\vec a-\vec b|$，且$（\vec a+\vec b）⊥（\vec a-\vec b）$，則$（\vec a+\vec b）$與$\vec b$的夾角為45°．

Answer 1

分析 根據(jù)向量的夾角公式，以及向量的垂直，向量模計(jì)算即可．

解答 解：設(shè)$（\vec a+\vec b）$與$\vec b$的夾角為θ，
∵$|\vec a+\vec b|=|\vec a-\vec b|$，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|²=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|²，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，
∵$（\vec a+\vec b）⊥（\vec a-\vec b）$，
∴（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=0，
∴$|\overrightarrow{a}|$=$|\overrightarrow|$，
∴$（\vec a+\vec b）$•$\vec b$=${\overrightarrow}^{2}$，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{2}$|$\overrightarrow$|，
∴cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|•|\overrightarrow|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵0≤θ≤180°，
∴θ=45°，
故答案為：45°．

點(diǎn)評 本題考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)算以及向量的模的計(jì)算以及向量垂直的條件，屬于中檔題．