Question

11．如圖，定圓C的半徑為4，A為圓C上的一個(gè)定點(diǎn)，B為圓C上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)A，B，C不共線，且$|{\overrightarrow{AB}-t\overrightarrow{AC}}|≥|{\overrightarrow{BC}}|$對(duì)任意的t∈（0，+∞）恒成立，則$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=16．

Answer 1

分析 對(duì)$|{\overrightarrow{AB}-t\overrightarrow{AC}}|≥|{\overrightarrow{BC}}|$=|$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$|兩邊平方，得到關(guān)于t的二次不等式在（0，+∞）上恒成立，討論判別式和根的范圍列出不等式解出．

解答 解：∵$|{\overrightarrow{AB}-t\overrightarrow{AC}}|≥|{\overrightarrow{BC}}|$=|$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$|，∴${\overrightarrow{AB}}^{2}$-2t$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$+t²${\overrightarrow{AC}}^{2}$≥${\overrightarrow{AB}}^{2}$-2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$+${\overrightarrow{AC}}^{2}$，∴8t²-t$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$-8≥0在（0，+∞）上恒成立，
△=（$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$）²-32（$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$-8）=（$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$-16）²≥0，
若△=0，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=16，則8t²-t$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$-8≥0在R上恒成立，符合題意；
若△＞0，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$≠16，則8t²-t$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$-8=0的最大解x₀=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+|\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}-16|}{16}$≤0．
當(dāng)$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$＞16時(shí)，x₀=$\frac{2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}-16}{16}$≤0，解得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=8（舍去）．
當(dāng)$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$＜16時(shí)，x₀=1，不符合題意．
綜上，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=16．
故答案為16．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，二次函數(shù)恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．