Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2ax-a+2
（1）若對于任意x∈R，f（x）≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若對于任意x∈[-1，1]，f（x）≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若對于任意a∈[-1，1]，x²+2ax-a+2＞0恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,函數(shù)恒成立問題,二次函數(shù)的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）由題意利用二次函數(shù)的性質可得△=4a²-4（-a+2）≤0，由此求得求得a的范圍．
（2）由于對于任意x∈[-1，1]，f（x）≥0恒成立，故f（x）_min≥0．利用二次函數(shù)的性質，分類討論求得a的范圍．
（3）問題等價于g（a）=（2x-1）a+x²+2＞0，再由g（-1）、g（1）都大于零，求得x的范圍．

解答： 解：（1）若對于任意x∈R，f（x）=x²+2ax-a+2≥0恒成立，
則有△=4a²-4（-a+2）≤0，求得-2≤a≤1．
（2）由于對于任意x∈[-1，1]，f（x）≥0恒成立，故f（x）_min≥0．
又函數(shù)f（x）的圖象的對稱軸方程為x=-a，當-a＜-1時，f_min（x）=f（-1）=3-3a≥0，求得a無解；
當-a＞1時，f_min（x）=f（1）=3+a≥0，求得-3≤a＜-1；
當-a∈[-1，1]時，f_min（x）=f（-a）=-3a²-a+2，求得-1≤a≤

2

3

．
綜上可得，a的范圍為[-3，

2

3

]．
（3）若對于任意a∈[-1，1]，x²+2ax-a+2＞0恒成立，等價于g（a）=（2x-1）a+x²+2＞0，
∴

g(-1)=x2-2x+1+2＞0 g(1)=x2+2x-1+2＞0

，求得x≠-1，即x的范圍為{x|x≠-1}．

點評：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，函數(shù)的恒成立問題，二次函數(shù)的性質的應用，體現(xiàn)了分類討論、轉化的數(shù)學思想，屬于基礎題．