Question

棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A′B′C′D′，P為棱CC′上一點(diǎn)，Q為AD中點(diǎn)．
（1）當(dāng)PC為何值時(shí)，AP⊥A′Q；
（2）在（1）的情況下，求異面直線A′B與AP所成的角．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：計(jì)算題,向量法,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）設(shè)PC=a，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AD'所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出A，P，Q，A'的坐標(biāo)，以及向量AP，A'Q的坐標(biāo)，運(yùn)用向量垂直的條件，解方程，即可得到PC的長(zhǎng)；
（2）求出向量AP，A'B的坐標(biāo)，再由向量的夾角公式，計(jì)算即可得到所成的角．

解答： 解：（1）設(shè)PC=a，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AD'所在直線為x，y，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），P（1，1，a），Q（0，

1

2

，0），A'（0，0，1），
則

AP

=（1，1，a），

A′Q

=（0，

1

2

，-1），
由AP⊥A′Q，則有0+

1

2

-a=0，
解得，a=

1

2

，
則PC為

1

2

時(shí)，AP⊥A′Q；
（2）由于B（1，0，0），P（1，1，

1

2

），
則

A′B

=（1，0，-1），

AP

=（1，1，

1

2

），
有cosθ=

AP • A′B

| AP |•| A′B |

=

1- 1 2

2 • 2+ 1 4

=

2

6

．
即異面直線A′B與AP所成的角為arccos

2

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量法求異面直線所成的角，考查數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．