Question

12．（1）求經(jīng)過點(diǎn)的P（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\sqrt{3}$），Q（$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，1）的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求與橢圓$\frac{{x}^{2}}{49}$+$\frac{{y}^{2}}{24}$=1有公共焦點(diǎn)，且離心率e=$\frac{5}{4}$的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓的方程為mx²+ny²=1，（m＞0，n＞0．m≠n），利用待定系數(shù)當(dāng)能求出橢圓方程．
（2）求出橢圓$\frac{{x}^{2}}{49}$+$\frac{{y}^{2}}{24}$=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出雙曲線的方程，據(jù)題意得到參數(shù)c的值，根據(jù)雙曲線的離心率，得到參數(shù)a的值，從而得到雙曲線的方程．

解答 解：設(shè)橢圓的方程為mx²+ny²=1，（m＞0，n＞0．m≠n）
∵經(jīng)過兩點(diǎn)P（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\sqrt{3}$），Q（$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，1），
∴$\frac{2}{3}$m+3n=1.$\frac{8}{9}$m+n=1，
∴m=1，n=$\frac{1}{9}$，
∴經(jīng)過點(diǎn)的P（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\sqrt{3}$），Q（$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，1）的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程$\frac{{y}^{2}}{9}+{x}^{2}$=1；
（2）∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{49}$+$\frac{{y}^{2}}{24}$=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-5，0）和（5，0），
設(shè)雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
則a²+b²=25，…（2分）
∵雙曲線的離心率等e=$\frac{5}{4}$=$\frac{c}{a}$，∴a=4．     
∴b²=c²-a²=9．                           
故所求雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{9}$=1．

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法，考查雙曲線的簡單性質(zhì)和標(biāo)準(zhǔn)方程．解答的關(guān)鍵在于考生對圓錐曲線的基礎(chǔ)知識的把握．