Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{2}{x}^{2}+1}{x}$，g（x）=$\frac{{e}^{2}x}{{e}^{x}}$，對(duì)任意${x_1}，{x_2}∈（{\frac{1}{e}，+∞}）$，不等式$\frac{{g（{x_1}）}}{k}＜\frac{{f（{x_2}）}}{k+2}$恒成立，則正數(shù)k的取值范圍是（　　）

• A． （1，+∞）
• B． [1，+∞）
• C． （2，+∞）
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 由基本不等式求最值可得f（x）在（$\frac{1}{e}，+∞$）大于2e，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)g（x）在（$\frac{1}{e}，+∞$）上的最大值為e，把對(duì)任意${x_1}，{x_2}∈（{\frac{1}{e}，+∞}）$，不等式$\frac{{g（{x_1}）}}{k}＜\frac{{f（{x_2}）}}{k+2}$恒成立，轉(zhuǎn)化為$\frac{e}{k}≤\frac{2e}{k+1}$，由此求得k的取值范圍．

解答 解：∵當(dāng)x＞$\frac{1}{e}$時(shí)，f（x）=$\frac{{e}^{2}{x}^{2}+1}{x}$=${e}^{2}x+\frac{1}{x}$＞2$\sqrt{{e}^{2}x+\frac{1}{x}}=2e$（x$≠\frac{1}{e}$）．
∴x₁∈（$\frac{1}{e}$，+∞）時(shí)，函數(shù)f（x₁）＞2e；
∵g（x）=$\frac{{e}^{2}x}{{e}^{x}}$，∴g′（x）=$\frac{{e}^{2}（{e}^{x}-x{e}^{x}）}{{e}^{2x}}=\frac{{e}^{2}（1-x）}{{e}^{x}}$．
當(dāng)$\frac{1}{e}$＜x＜1時(shí)，g′（x）＞0，則函數(shù)g（x）在（$\frac{1}{e}$，1）上單調(diào)遞增，
當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＜0，則函數(shù)在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)g（x）有最大值g（1）=e．
則有x₁、x₂∈（$\frac{1}{e}$，+∞）時(shí)，f（x₁）＞2e＞g（x₂）_max=e．
∵不等式$\frac{{g（{x_1}）}}{k}＜\frac{{f（{x_2}）}}{k+2}$恒成立且k＞0，
∴$\frac{e}{k}≤\frac{2e}{k+1}$，得k≥1．
∴正數(shù)k的取值范圍是[1，+∞）．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用基本不等式及導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，考查函數(shù)的恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，屬中檔題．