Question

15．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的一條弦所在直線的方程x-y-3=0，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1），求橢圓的離心率．

Answer 1

分析 由點(diǎn)差法，得到得b²（x₁+x₂）（x₁-x₂）=-a²（y₁+y₂）（y_i-y₂），及x₁+x₂=4，y₁+y₂=-2⇒$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=\frac{2^{2}}{{a}^{2}}=1$即可．

解答 解：設(shè)直線與橢圓交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}=1$…①，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{^{2}}=1$…②
①-②得b²（x₁+x₂）（x₁-x₂）=-a²（y₁+y₂）（y_i-y₂）
∵$k=\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}=1$，x₁+x₂=4，y₁+y₂=-2
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=\frac{2^{2}}{{a}^{2}}=1$⇒a²=2b²=b²+c²⇒b²=c²⇒a²=2c²
∴e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的離心率，點(diǎn)差法是解題關(guān)鍵，屬于中檔題．