Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=ln（2x+3）+x²．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）求f（x）在區(qū)間[-1，$\frac{{e}^{2}-3}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的定義域，然后求解函數(shù)的導數(shù)，通過導函數(shù)大于0，小于0，即可判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）利用（1）通過f（x）在區(qū)間[-1，$\frac{{e}^{2}-3}{2}$]上的單調(diào)性，直接求解函數(shù)的最大值和最小值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（-$\frac{3}{2}$，+∞），
f′（x）=$\frac{2}{2x+3}$+2x=$\frac{4（x+1）（x+\frac{1}{2}）}{2x+3}$，
當f'（x）＞0時，解得-$\frac{3}{2}$＜x＜-1或x＞-$\frac{1}{2}$；
當f'（x）＜0時，解得-1＜x＜-$\frac{1}{2}$，
所以函數(shù)f（x）在（-$\frac{3}{2}$，-1），（-$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函數(shù)，在（-1，-$\frac{1}{2}$）上是減函數(shù)；
（2）函數(shù)f（x）在[-1，-$\frac{1}{2}$）遞減，在（-$\frac{1}{2}$，$\frac{{e}^{2}-3}{2}$]上遞增，
故f（x）_min=f（-$\frac{1}{2}$）=ln2+$\frac{1}{4}$，而f（-1）=1＜f（$\frac{{e}^{2}-3}{2}$）=2+$\frac{{{（e}^{2}-3）}^{2}}{4}$，
故f（x）_max=2+$\frac{{{（e}^{2}-3）}^{2}}{4}$．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷函數(shù)的導數(shù)的應用，函數(shù)的最值的求法，考查計算能力．