Question

圖1是一個正方體的表面展開圖，MN和PB是兩條面對角線，請在圖2的正方體中將MN和PB畫出來，并就這個正方體解決下列問題
（1）求證：MN∥平面PBD； 
（2）求證：AQ⊥平面PBD；
（3）求二面角P-DB-M的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）畫出MN和PB如圖所示，求證：MN∥平面PBD，只需證MN∥BD；
（2）只需證BD⊥AQ，PD⊥AQ，通過直線與平面垂直的判定定理證明：AQ⊥平面PBD．
（3）建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)正方體的棱長為1，求出相關(guān)點的坐標(biāo)，利用平面的法向量求出二面角的余弦函數(shù)值．

解答： （1）證明：在正方體ABCD-PMQN中
∵MN∥BD，
∴MN∥平面PBD
（2）證明：在正方體ABCD-PMQN中，
∵BD⊥AC，BD⊥CQ，AC∩CQ=C
∴BD⊥平面ACQ
∴BD⊥AQ，
同理可證：PD⊥AQ，
∵BD∩PD=D，
∴AQ⊥平面PBD
（3）解：建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)正方體的棱長為1
則 A（1，0，0），Q（0，1，1），C（0，1，0）
由知平面PBD的一個法向量是

AQ

=（-1，1，1）
平面MBD的一個法向量是

AC

=（-1，1，0）
∴cos＜

AQ

，

AC

＞=

AQ • AC

| AQ || AC |

=

2

3 • 2

=

6

3

∴二面角P-DB-M的余弦值為 

6

3

．

點評：綜合法求二面角，往往需要作出平面角，這是幾何中一大難點，而用向量法求解二面角無需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，經(jīng)過簡單運算即可，從而體現(xiàn)了空間向量的巨大作用．二面角的向量求法：①若AB、CD分別是二面α-l-β的兩個半平面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角的大小就是向量

AB

與

CD

的夾角；  ②設(shè)

n1

，

n2

分別是二面角α-l-β的兩個面α，β的法向量，則向量

n1

，

n2

的夾角（或其補角）的大小就是二面角的平面角的大�。�