Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

6

3

，P為橢圓的上頂點(diǎn)，且△PF₁F₂的面積為

2

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為

3

2

，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由已知得

c a = 6 3 bc= 2

，又a²=b²+c²，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)l的方程為xcosα+ysinα+

3

2

=0，則y=-

xcosα+ 3 2

sinα

，代入

x2

3

+y2=1，得（1+2cos²α）x²+3

3

xcosα+3cos²α-

3

4

=0，由此利用根的判別式、弦長(zhǎng)公式，結(jié)合已知條件能求出三角形AOB面積的最大值．

解答： 解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

6

3

，
P為橢圓的上頂點(diǎn)，且△PF₁F₂的面積為

2

．
∴

c a = 6 3 bc= 2

，又a²=b²+c²，
解得a=

3

，b=1，
∴橢圓C的方程為：

x2

3

+y2=1．
（2）∵直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為

3

2

，
∴設(shè)l的方程為xcosα+ysinα+

3

2

=0，
∴y=-

xcosα+ 3 2

sinα

，
代入

x2

3

+y2=1，得x²sin²α+3[x²cos²α+

3

xcosα+

3

4

]=3sin²α，
整理得（1+2cos²α）x²+3

3

xcosα+3cos²α-

3

4

=0，
△=27cos²α-（1+2cos²α）（12cos²α-3）
=-24cos⁴α+21cos²α+3，
|AB|=

(-24cos4α+21cos2α+3)(1+cot2α)

1+2cos2α

，設(shè)u=cos²α，則0≤u≤1，
AB²=

-24u2+21u+3

(1-u)(1+2u)2

=

3(1+8u)

(1+2u)2

，設(shè)v=2u+

1

4

，則v的值域是[

1

4

，

9

4

]，
AB²=

12v

( 3 4 +v)2

=

12

9 16v +v+ 3 2

≤

12

3 2 + 3 2

=4，
當(dāng)v=

3

4

時(shí)取等號(hào)，
∴|AB|的最大值為2，
∴三角形AOB面積的最大值為

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真這題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．