Question

7．已知x，y滿足條件$\left\{\begin{array}{l}{x-\frac{1}{2}y+1≥0}\\{x+y≤2}\\{x-2y≤2}\end{array}\right.$，若z=mx+y取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實(shí)數(shù)m的值為（　�。�

• A． 1或-$\frac{1}{2}$
• B． 1或-2
• C． -1或-2
• D． -2或-$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，得到直線y=ax+z斜率的變化，從而求出a的取值．

解答 解：作出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-\frac{1}{2}y+1≥0}\\{x+y≤2}\\{x-2y≤2}\end{array}\right.$對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分mBC）．
由z=mx+y得y=-mx+z，即直線的截距最大，z也最大．
若m＜0，目標(biāo)函數(shù)y=-mx+z的斜率k=-m＞0，要使z=mx+y取得最大值的最優(yōu)解不唯一，
則直線z=mx+y與直線x-$\frac{1}{2}$y+1=0平行，此時(shí)m=-2，
若m＞0，目標(biāo)函數(shù)y=-mx+z的斜率k=-m＜0，要使z=y-mx取得最大值的最優(yōu)解不唯一，
則直線z=mx+y與直線x+y-2=0，平行，此時(shí)m=1，
綜上m=-2或m=1，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問(wèn)題的基本方法．注意要對(duì)a進(jìn)行分類討論．