Question

3．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）的短軸長(zhǎng)2，離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求橢圓C的方程：
（2）過(guò)原點(diǎn)O作兩條相互垂直的射線，與橢圓C分別交于M，N兩點(diǎn)，求證：原點(diǎn)O到直線MN的距離為定值，并求弦MN長(zhǎng)度的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：2b=2，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可得出．
（2）①取M（±$\sqrt{2}$，0），N（0，±1）時(shí)，即可得出原點(diǎn)O到直線MN的距離=$\frac{\sqrt{6}}{3}$為定值，此時(shí)|MN|=$\sqrt{3}$．
②射線OM，ON的斜率都存在且不為0時(shí)，設(shè)OM的斜率為k，則ON的斜率為-$\frac{1}{k}$，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，可得${x}_{M}^{2}$=$\frac{2}{1+2{k}^{2}}$，${y}_{M}^{2}$=$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，|OM|²=$\frac{2+2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$．同理可得：${x}_{N}^{2}$=$\frac{2{k}^{2}}{{k}^{2}+2}$，${y}_{N}^{2}$=$\frac{2}{{k}^{2}+2}$，|ON|²=$\frac{2+2{k}^{2}}{{k}^{2}+2}$．進(jìn)而得出，通過(guò)比較即可得出．

解答 （1）解：由題意可得：2b=2，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²，
解得b=1，c=1，a=$\sqrt{2}$．
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（2）證明：①取M（±$\sqrt{2}$，0），N（0，±1）時(shí)，原點(diǎn)O到直線MN的距離=$\frac{\sqrt{2}×1}{\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$為定值，此時(shí)|MN|=$\sqrt{3}$．
②射線OM，ON的斜率都存在且不為0時(shí)，設(shè)OM的斜率為k，則ON的斜率為-$\frac{1}{k}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，可得${x}_{M}^{2}$=$\frac{2}{1+2{k}^{2}}$，${y}_{M}^{2}$=$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，|OM|²=$\frac{2+2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{k}x}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，可得：${x}_{N}^{2}$=$\frac{2{k}^{2}}{{k}^{2}+2}$，${y}_{N}^{2}$=$\frac{2}{{k}^{2}+2}$，|ON|²=$\frac{2+2{k}^{2}}{{k}^{2}+2}$．
∴原點(diǎn)O到直線MN的距離的平方d²=$\frac{|OM{|}^{2}•|ON{|}^{2}}{|OM{|}^{2}+|ON{|}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，
∴d=$\frac{\sqrt{6}}{3}$為定值．
|MN|²=|OM|²+|ON|²=$\frac{2+2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$+$\frac{2+2{k}^{2}}{{k}^{2}+2}$=$\frac{6（1+{k}^{2}）^{2}}{（1+2{k}^{2}）（{k}^{2}+2）}$=f（k），
令t=k²+1≥1，則f（k）=$\frac{6{t}^{2}}{（2t-1）（t+1）}$=$\frac{6{t}^{2}}{2{t}^{2}+t-1}$=$\frac{6}{-\frac{1}{{t}^{2}}+\frac{1}{t}+2}$=$\frac{6}{-（\frac{1}{t}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{9}{4}}$=g（t），
當(dāng)t=2時(shí)，g（t）取得最小值$\frac{8}{3}$．
∴|MN|的最小值為：$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
綜上①②可得：原點(diǎn)O到直線MN的距離為定值$\frac{\sqrt{6}}{3}$，弦MN長(zhǎng)度的最小值為$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長(zhǎng)問(wèn)題、勾股定理、直角三角形面積計(jì)算公式及其應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．