Question

17．設min{p，q}表示p，q中較小的一個，給出下列命題：
①min{x²，x-1}=x-1；
②設$θ∈（0{，_{\;}}\frac{π}{2}]$，則min$\{\frac{sinθ}{{{{sin}^2}θ+1}}{，_{\;}}\frac{1}{2}\}=\frac{1}{2}$；
③設a，b∈N^*，則min$\{a{，_{\;}}\frac{2b}{{{a^2}+{b^2}}}\}$的最大值是1，
其中所有正確命題的序號有（　�。�

• A． ①
• B． ③
• C． ①②
• D． ①③

Answer 1

分析 ①作差：x²-（x-1）=$（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}$＞0，即可得出min{x²，x-1}，進而判斷出正誤；
②由$θ∈（0{，_{\;}}\frac{π}{2}]$，可得sinθ∈（0，1]，作差$\frac{sinθ}{si{n}^{2}θ+1}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{-（sinθ-1）^{2}}{2（si{n}^{2}θ+1）}$≤0，即可判斷出正誤；
③設a，b∈N^*，由$\frac{2b}{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{2}{\frac{{a}^{2}}+b}$≤$\frac{2}{2\sqrt{\frac{{a}^{2}}•b}}$=$\frac{1}{a}$≤1，a≥1，即可判斷出正誤．

解答 解：①∵x²-（x-1）=$（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}$＞0，∴x²＞x-1，∴min{x²，x-1}=x-1，正確；
②∵$θ∈（0{，_{\;}}\frac{π}{2}]$，∴sinθ∈（0，1]，∴$\frac{sinθ}{si{n}^{2}θ+1}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{2sinθ-（si{n}^{2}θ+1）}{2（si{n}^{2}θ+1）}$=$\frac{-（sinθ-1）^{2}}{2（si{n}^{2}θ+1）}$≤0，
則min$\{\frac{sinθ}{si{n}^{2}θ+1}，\frac{1}{2}\}$=$\frac{sinθ}{si{n}^{2}θ+1}$，因此不正確；
③設a，b∈N^*，∵$\frac{2b}{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{2}{\frac{{a}^{2}}+b}$≤$\frac{2}{2\sqrt{\frac{{a}^{2}}•b}}$=$\frac{1}{a}$≤1，a≥1．可得：min$\{a{，_{\;}}\frac{2b}{{{a^2}+{b^2}}}\}$的最大值是1，正確．
故選：D．

點評 本題考查了新定義、“作差法”比較數(shù)的大小、基本不等式的性質(zhì)、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．