Question

2．2016年“雙節(jié)”期間，高速公路車輛較多，某調查公司在一服務區(qū)從小型汽車中按進服務區(qū)的先后每間隔35輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進行詢問調查，將他們在某段高速公路的車速（km/h）分成六段：
[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90）后得到如圖的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）求這40輛小型車輛車速的眾數(shù)和中位數(shù)的估計值；
（Ⅱ）若從車速在[60，70）的車輛中任抽取2輛，求車速在[65，70）的車輛至少有一輛的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）選出直方圖中最高的矩形求出其底邊的中點即為眾數(shù)；求出從左邊開始小矩形的面積和為0.5對應的橫軸的左邊即為中位數(shù)；利用各個小矩形的面積乘以對應矩形的底邊的中點的和為數(shù)據(jù)的平均數(shù)．
（Ⅱ）利用列舉法求出從車速在[60，70）內抽取2輛的基本事數(shù)，計算對應的概率即可．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖，

得：眾數(shù)的估計值為最高的矩形的中點，即眾數(shù)的估計值等于77.5；
設圖中虛線所對應的車速為x，則中位數(shù)的估計值為：
0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×（x-75）=0.5，
解得x=77.5，即中位數(shù)的估計值為77.5；
（Ⅱ）根據(jù)頻率分布圖知，車速在[60，65）的車輛數(shù)為：
m₁=0.01×5×40=2（輛），分別記為A、B；
車速在[65，70）的車輛數(shù)為：
m₂=0.02×5×40=4（輛），分別記為c、d、e、f；
∴從這6輛車中任抽取2輛，基本事件數(shù)是，
AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf、cd、ce、cf、de、df、ef共有15種；
則車速在[65，70）的車輛至少有一輛的基本事件數(shù)是，
Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf、cd、ce、cf、de、df、ef共有14種；
故所求的概率為：p=$\frac{14}{15}$．

點評 本題考查了利用頻率分布直方圖求眾數(shù)中位數(shù)的應用問題，也考查了用列舉法求古典概型的概率問題，是基礎題目．