Question

17．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，S_n=2a_n+λn-4（n∈N⁺，λ∈R），且數(shù)列{a_n-1}為等比數(shù)列．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)λ的值，并寫出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）（i）判斷數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$$-\frac{1}{{a}_{n}}$}（n∈N⁺）的單調(diào)性；（ii）設(shè)b_n=$\frac{（-1）^{n-1}}{{a}_{n}}$，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，證明：T_2n＜$\frac{2}{9}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由S_n+1-S_n易得a_n+1=2a_n-λ，所以a_n+1-1=2a_n-λ-1=$2（{a}_{n}-\frac{λ+1}{2}）$，又?jǐn)?shù)列{a_n-1}為等比數(shù)列，得λ=1．從而a_n-1=2ⁿ，則a_n=1+2ⁿ；
（Ⅱ）（i）作差$\frac{1}{{a}_{n}-1}$$-\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}-1）}$=$\frac{1}{（{2}^{n}+1）{2}^{n}}$即得結(jié)論；
（ii）由b_n=$\frac{（-1）^{n-1}}{{a}_{n}}$=$\frac{（-1）^{n-1}}{{2}^{n}+1}$，可知T_2n=（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{17}$）+…+（$\frac{1}{{2}^{2n-1}+1}$-$\frac{1}{{2}^{2n}+1}$），利用$\frac{1}{{2}^{2n-1}+1}$-$\frac{1}{{2}^{2n}+1}$＜$\frac{1}{{2}^{2n-1}}$-$\frac{1}{{2}^{2n}}$=$\frac{1}{{2}^{2n}}$=$\frac{1}{{4}^{n}}$，將其放縮即可．

解答 解：（Ⅰ）由S_n=2a_n+λn-4，得S_n+1=2a_n+1+λ（n+1）-4，
兩式相減得a_n+1=2a_n+1-2a_n+λ，
即a_n+1=2a_n-λ，
所以a_n+1-1=2a_n-λ-1=$2（{a}_{n}-\frac{λ+1}{2}）$，
又?jǐn)?shù)列{a_n-1}為等比數(shù)列，
所以$\frac{λ+1}{2}=1$，即λ=1．
所以a₁=3，a₁-1=2，
所以a_n-1=2ⁿ，
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為：a_n=1+2ⁿ；
（Ⅱ）（i）∵$\frac{1}{{a}_{n}-1}$$-\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}-1）}$=$\frac{1}{（{2}^{n}+1）{2}^{n}}$，
又2ⁿ，2ⁿ+1單調(diào)遞增，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$$-\frac{1}{{a}_{n}}$}（n∈N⁺）為單調(diào)遞減數(shù)列；
（ii）∵b_n=$\frac{（-1）^{n-1}}{{a}_{n}}$=$\frac{（-1）^{n-1}}{{2}^{n}+1}$，
∴T_2n=b₁+b₂+…+b_2n
=（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{17}$）+…+（$\frac{1}{{2}^{2n-1}+1}$-$\frac{1}{{2}^{2n}+1}$），
由（i）得$\frac{1}{{a}_{2n-1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{2n-1}}$＞$\frac{1}{{a}_{2n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{2n}}$，
即$\frac{1}{{2}^{2n-1}}$-$\frac{1}{{2}^{2n-1}+1}$＞$\frac{1}{{2}^{2n}}$-$\frac{1}{{2}^{2n}+1}$，
所以$\frac{1}{{2}^{2n-1}+1}$-$\frac{1}{{2}^{2n}+1}$＜$\frac{1}{{2}^{2n-1}}$-$\frac{1}{{2}^{2n}}$=$\frac{1}{{2}^{2n}}$=$\frac{1}{{4}^{n}}$，
所以T_2n＜（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{{4}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{3}}$+…+$\frac{1}{{4}^{n}}$）
=（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+$\frac{\frac{1}{16}（1-\frac{1}{{4}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{4}}$
＜$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{12}$=$\frac{13}{60}$＜$\frac{2}{9}$．

點(diǎn)評 本題考查了遞推式的應(yīng)用、“裂項(xiàng)求和”以及放縮法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．