Question

6．設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²-4x+c的值域?yàn)閇0，+∞），且f（1）≤4，則$u=\frac{a}{{{c^2}+4}}+\frac{c}{{{a^2}+4}}$的取值范圍是$\frac{1}{2}≤u≤\frac{7}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)f（1）≤4，求得4≤a+c≤8由題意可知，a＞0，△=0，從而求出ac=4，將所求式子中的4代換成ac，利用裂項(xiàng)法進(jìn)行整理，進(jìn)而利用函數(shù)的單調(diào)性求得$u=\frac{a}{{{c^2}+4}}+\frac{c}{{{a^2}+4}}$的最大值．

解答 解：f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），故 $\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=（-4）^{2}-4ac=0}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{ac=4}\end{array}\right.$，
a+c≥2$\sqrt{ac}$=4，
又0≤f（1）≤4，即0≤a-4+c≤4，
所以4≤a+c≤8，$u=\frac{a}{{{c^2}+4}}+\frac{c}{{{a^2}+4}}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{ac（a+c）}$=$\frac{（a+c）^{2}-2ac}{ac（a+c）}$=$\frac{a+c}{4}$$-\frac{2}{a+c}$，
t=$\frac{a+c}{4}$，$\frac{2}{a+c}$=$\frac{1}{2t}$，1≤t≤2，
由y=t-$\frac{1}{2t}$的單調(diào)性，u_max=$\frac{7}{4}$，u_min=1$-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
故答案為：$\frac{1}{2}≤u≤\frac{7}{4}$

點(diǎn)評 利用基本不等式求函數(shù)最值是最值考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，對不符合基本不等式形式的應(yīng)首先變形，然后必須滿足三個(gè)條件：一正、二定、三相等．同時(shí)注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．換元法轉(zhuǎn)化為常見的函數(shù)，利用單調(diào)性求解是中檔題