【題目】如圖,在中,已知,在上,且,又平面.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ).
【解析】分析:(Ⅰ)設OA=1,則PO=OB=2,DA=1,由DA∥PO,PO⊥平面ABC,知DA⊥平面ABC,可得DA⊥AO.利用勾股定理的逆定理可得:PD⊥DO.由OC=OB=2,∠ABC=45°,可得CO⊥AB,又PO⊥平面ABC,可得PO⊥OC,得到CO⊥平面PAB.得到CO⊥PD.即可證明.
(Ⅱ)如圖建立空間直角坐標系,點A為坐標原點,設AB=1,利用線面垂直的性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關系得出兩個平面的法向量,求出其夾角即可.
詳解:(Ⅰ)證明:設OA=1,則PO=OB=2,DA=1,
由DA∥PO,PO⊥平面ABC,知DA⊥平面ABC,
∴DA⊥AO.從而,
在△PDO中,∵PO=2,
∴△PDO為直角三角形,故PD⊥DO.
又∵OC=OB=2,∠ABC=45°,
∴CO⊥AB,又PO⊥平面ABC,
∴PO⊥OC,
又PO,AB平面PAB,PO∩AB=O,
∴CO⊥平面PAB.
故CO⊥PD.
∵CO∩DO=O,
∴PD⊥平面COD.
(Ⅱ)解:以OC,OB,OP所在射線分別為x,y,z軸,建立直角坐標系如圖.
則由(Ⅰ)知,C(2,0,0),B(0,2,0),P(0,0,2),D(0,﹣1,1),
∴,
由(Ⅰ)知PD⊥平面COD,∴是平面DCO的一個法向量,
設平面BDC的法向量為,∴,∴,
令y=1,則x=1,z=3,∴,
∴,
由圖可知:二面角B﹣DC﹣O為銳角,二面角B﹣DC﹣O的余弦值為.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=loga(x+1)﹣loga(1﹣x),a>0且a≠1.
(1)求f(x)的定義域;
(2)判斷f(x)的奇偶性并予以證明;
(3)當a>1時,求使f(x)>0的x的取值范圍.
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【題目】在數(shù)列{an}中,已知a1=2,an+1=3an+2n﹣1.
(1)求證:數(shù)列{an+n}為等比數(shù)列;
(2)記bn=an+(1﹣λ)n,且數(shù)列{bn}的前n項和為Tn , 若T3為數(shù)列{Tn}中的最小項,求λ的取值范圍.
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【題目】已知f(x)=3sinx﹣πx,命題p:x∈(0, ),f(x)<0,則( )
A.p是假命題,¬p:?x∈(0, ),f(x)≥0
B.p是假命題,¬p:?x0∈(0, ),f(x0)≥0
C.p是真命題,¬p:?x∈(0, ),f(x)>0
D.p是真命題,¬p:?x0∈(0, ),f(x0)≥0
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【題目】學校舉辦的集體活動中,設計了如下有獎闖關游戲:參賽選手按第一關、第二關、第三關的順序依次闖關,若闖關成功,分別獲得1分、2分、3分的獎勵,游戲還規(guī)定,當選手闖過一關后,可以選擇得到相應的分數(shù),結(jié)束游戲;也可以選擇繼續(xù)闖下一關,若有任何一關沒有闖關成功,則全部分數(shù)都歸零,游戲結(jié)束。設選手甲第一關、第二關、第三關的概率分別為,,,選手選擇繼續(xù)闖關的概率均為,且各關之間闖關成功互不影響
(I)求選手甲第一關闖關成功且所得分數(shù)為零的概率
(II)設該學生所得總分數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學期望
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【題目】已知平面五邊形是軸對稱圖形(如圖1),BC為對稱軸,AD⊥CD,AD=AB=1,,將此五邊形沿BC折疊,使平面ABCD⊥平面BCEF,得到如圖2所示的空間圖形,對此空間圖形解答下列問題.
(1)證明:AF∥平面DEC;
(2)求二面角的余弦值.
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【題目】南航集團與波音公司2018年2月在廣州簽署協(xié)議,雙方合作的客改貨項目落戶廣州空港經(jīng)濟區(qū).根據(jù)協(xié)議,雙方將在維修技術轉(zhuǎn)讓、支持項目、管理培訓等方面開展戰(zhàn)略合作.現(xiàn)組織者對招募的100名服務志愿者培訓后,組織一次知識競賽,將所得成績制成如下頻率分布直方圖(假定每個分數(shù)段內(nèi)的成績均勻分布),組織者計劃對成績前20名的參賽者進行獎勵.
(1)試求受獎勵的分數(shù)線;
(2)從受獎勵的20人中利用分層抽樣抽取5人,再從抽取的5人中抽取2人在主會場服務,試求2人成績都在90分以上(含90分)的概率.
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【題目】選修4﹣4:坐標系與參數(shù)方程 曲線C1的參數(shù)方程為 (α為參數(shù)),在以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2的極坐標方程為ρcos2θ=sinθ.
(1)求曲線C1的極坐標方程和曲線C2的直角坐標方程;
(2)若射線l:y=kx(x≥0)與曲線C1 , C2的交點分別為A,B(A,B異于原點),當斜率k∈(1, ]時,求|OA||OB|的取值范圍.
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