Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=loga（x+1）﹣loga（1﹣x），a＞0且a≠1．
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性并予以證明；
（3）當(dāng)a＞1時(shí)，求使f（x）＞0的x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=loga（x+1）﹣loga（1﹣x），則 解得﹣1＜x＜1．

故所求定義域?yàn)閧x|﹣1＜x＜1}

（2）解：f（x）為奇函數(shù)

由（1）知f（x）的定義域?yàn)閧x|﹣1＜x＜1}，

且f（﹣x）=loga（﹣x+1）﹣loga（1+x）=﹣[loga（x+1）﹣loga（1﹣x）]=﹣f（x），

故f（x）為奇函數(shù)

（3）解：因?yàn)楫?dāng)a＞1時(shí)，f（x）在定義域{x|﹣1＜x＜1}內(nèi)是增函數(shù)，

所以 ．

解得0＜x＜1．

所以使f（x）＞0的x的取值范圍是{x|0＜x＜1}

【解析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)可知真數(shù)大于零，進(jìn)而確定x的范圍，求得函數(shù)的定義域．（2）利用函數(shù)解析式可求得f（﹣x）=﹣f（x），進(jìn)而判斷出函數(shù)為奇函數(shù)．（3）根據(jù)當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在定義域{x|﹣1＜x＜1}內(nèi)是增函數(shù)，可推斷出f（x）＞0，進(jìn)而可知 進(jìn)而求得x的范圍．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)的奇偶性和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；①加法：②減法：③數(shù)乘：④⑤．