Question

8．已知集合S_n={X|X=（x₁，x₂，…x_n），x_i∈Z，i=1，2，…，n}（n≥2）．對(duì)于S_n中的任意兩個(gè)元素A=（a₁，a₂，…，a_n）和B=（b₁，b₂，…，b_n），定義A與B之間的距離為d（A，B）=$\sum_{i=1}^{n}$|a_i-b_i|，-A=（-a₁，-a₂，…，-a_n），記I=（1，2，3，…，n），I∈S_n．現(xiàn)有下列命題：
①若A=（2，2），I∈S₂，則d（A，I）=1；
②若A，B，I∈S₃，則d（I，A）+d（I，B）＞d（A，B）；
③若A，B，I∈S_n，則d（I，A）=d（I，B）=p（p是常數(shù)），則d（A，B）不大于2p；
④若I∈S₂₀₁₅，B=（x，x，…，x）∈S₂₀₁₅，記f（x）=d（I，B）+d（I，-B），則有2015個(gè)不同的實(shí)數(shù)a滿足f（a²-2a）=f（a-1）．
其中的真命題有①③（寫出所有真命題的序號(hào)）

Answer 1

分析 對(duì)于①直接根據(jù)新定義計(jì)算即可判斷①，對(duì)于②取A=B=I，則d（I，A）=d（I，B）=d（A，B）=0故判斷②，對(duì)于③利用絕對(duì)值幾何意義即可判斷，對(duì)于④先求出f（x），再代入求解即可判斷．

解答 解：①∵I∈S₂，∴I=（1，2），
又A=（2，2），∴d（A，I）=|2-1|+|2-2|=1，故①正確；
②取A=B=I，則d（I，A）=d（I，B）=d（A，B）=0，
∴d（I，A）+d（I，B）＞d（A，B），故②不正確；
③d（A，B）=$\sum_{i=1}^{n}$|a_i-b_i|≤$\sum_{i=1}^{n}|{a}_{i}-i|+\sum_{i=1}^{n}|i-_{i}|$=2p，故③正確；
④f（x）=d（I，B）+d（I，-B）=$\sum_{i=1}^{2015}|i-x|+$$\sum_{i=1}^{2015}|i+x|$=x-1+x-2+…+1+0+1+2+…+2015-x+x+1+x+2+…x+2015=$\frac{x（x-1）}{2}$+$\frac{（2015-x）（2016-x）}{2}$+2015x+$\frac{2015×2016}{2}$=x²-x+2015×2016，
∵f（a²-2a）=f（a-1），
∴（a²-2a）²-（a²-2a）+2015×2016=（a-1）²-（a-1）+2015×2016，
即a⁴-4a³+2a²+3a-2=0
∴a的值最多有4個(gè)，
故④不正確
故答案為：①③

點(diǎn)評(píng) 本題是新定義題，考查了兩點(diǎn)間的距離公式，訓(xùn)練了絕對(duì)值不等式的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是對(duì)題意的理解，屬于難題．