Question

20．已知函數(shù)f（x）=2ax²-4lnx（a∈R）
（1）當(dāng)a=2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）對函數(shù)求導(dǎo)，利用f'（x）≥0求得增區(qū)間，f'（x）≤0求得減區(qū)間．
（2）對a進行討論，得到f'（x）的正負號，從而得到單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）a=2，f（x）=4x²-4lnx，
f'（x）=8x-$\frac{4}{x}=\frac{8{x}^{2}-4}{x}$，f'（x）≥0，解得$x≥\frac{\sqrt{2}}{2}$，或$x≤-\frac{\sqrt{2}}{2}$，
因為x＞0，所以$x≥\frac{\sqrt{2}}{2}$，即函數(shù)的增區(qū)間為[$\frac{\sqrt{2}}{2}，+∞$），
f'（x）≤0，解得$-\frac{\sqrt{2}}{2}≤x≤\frac{\sqrt{2}}{2}$，因為x＞0，所以$0≤x≤\frac{\sqrt{2}}{2}$．
即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．
（2）$f'（x）=4ax-\frac{4}{x}=\frac{4a{x}^{2}-4}{x}$，
當(dāng)a≤0時，f'（x）＜0恒成立，所以函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
當(dāng)a＞0時，f'（x）=0解得x=$±\sqrt{\frac{1}{a}}$，∵x＞0，∴$x=\sqrt{\frac{1}{a}}$
f'（x）≥0，解得x$≥\sqrt{\frac{1}{a}}$，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[$\sqrt{\frac{1}{a}}，+∞$）．
f'（x）≤0，解得$0＜\\;≤\sqrt{\frac{1}{a}}$$\sqrt{\frac{1}{a}}$，所以函數(shù)得單調(diào)減區(qū)間為（0，$\sqrt{\frac{1}{a}}$）

點評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型，高考�？碱}型．