Question

設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意a∈R，b∈R，當(dāng)a+b≠0時(shí)，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
（1）求證：f（x）在R上為增函數(shù)；
（2）若f（9^x-2•3^x）+f（2•9^x-k）＞0對任意x∈[0，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明f（x）在R上為增函數(shù)；
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系將不等式f（9^x-2•3^x）+f（2•9^x-k）＞0對任意x∈[0，+∞）恒成立，進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：（1）設(shè)x₁＜x₂，
則x₁-x₂＜0，
則由條件可得

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

＞0，
則f（x₁）+f（-x₂）＜0，
即f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
則f（x₁）＜f（x₂），則f（x）在R上為增函數(shù)；
（2）∵f（x）在R上為增函數(shù)且函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，若f（9^x-2•3^x）+f（2•9^x-k）＞0對任意x∈[0，+∞）恒成立，
∴不等式等價(jià)為f（9^x-2•3^x）＞-f（2•9^x-k）=f（k-2•9^x），
則9^x-2•3^x＞k-2•9^x，
即k＜3•9^x-2•3^x對任意x∈[0，+∞）恒成立，
設(shè)u=3•9^x-2•3^x，
設(shè)t=3^x，則t≥1，
則u=3•9^x-2•3^x=u=3•t²-2•t=3（t-

1

3

）²-

1

3

≥1，
∴k＜1．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷以及不等式恒成立問題，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．