Question

已知拋物線x=

1

4

y²的焦點(diǎn)與橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)重合，F(xiàn)₁、F₂是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，Q是橢圓C上任意一點(diǎn)，且

QF1

•

QF2

的最大值是3．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過(guò)右焦點(diǎn)F₂作斜率為k的直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)P（m，0），使得PM、PN為鄰邊的平行四邊形是菱形？如果存在，求出m的取值范圍；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）由題意推導(dǎo)出橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），設(shè)Q（x，y），則

QF1

•

QF2

=b2-1+

c2

a2

x2≤b²-1+c²，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）由題意知l：y=k（x-1），聯(lián)立

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件推導(dǎo)出存在滿足題意的點(diǎn)P且能求出m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵拋物線x=

1

4

y²的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（1，0），
∴由題意知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
∴c=1，
設(shè)Q（x，y），則

QF1

•

QF2

=（-1-x，-y）•（1-x，-y）=x²-1+y²
=x2-1+b2(1-

x2

a2

)
=b2-1+

c2

a2

x2，
∵-a≤x≤a，
∴

QF1

•

QF2

=b²-1+

c2

a2

x2≤b²-1+c²，
∴b²-1+c²=3，
∴b²+c²=4=a²，
∴a²=4，b²=3，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）由題意知l：y=k（x-1），
聯(lián)立

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，整理，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x1+x2=

8k2

3+4k2

，
y₁+y₂=k（x₁+x₂-2），

PM

+

PN

=（x₁-m，y₁）+（x₂-m，y₂）
=（x₁+x₂-2m，y₁+y₂），
∵菱形的對(duì)角線互相垂直，∴（

PM

+

PN

）•

MN

=0，
∴（x₁-x₂）[x₁+x₂-2m+k（y₁+y₂）]=0，
∴k（y₁+y₂）+x₁+x₂-2m=0，
∴k²（x₁+x₂-2）+x₁+x₂-2m=0，
∴k2(

8k2

3+4k2

-2)+

8k2

3+4k2

-2m=0，
由已知條件知k≠0，且k∈R，
∴m=

k2

3+4k2

=

1

3 k2 +4

，∴0＜m＜

1

4

，
∴存在滿足題意的點(diǎn)P且m的取值范圍是（0，

1

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷，綜合性強(qiáng)，難度大，具有一定的探索性，解題時(shí)要注意函數(shù)方程思想的合理運(yùn)用．