Question

14．已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與x軸的非負(fù)半軸重合，若曲線C₁的方程為ρsin（θ+$\frac{π}{3}$）+2$\sqrt{3}$=0，曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
（1）將C₁的方程化為直角坐標(biāo)方程；
（2）若點(diǎn)Q為C₂上的動(dòng)點(diǎn)，P為C₁上的動(dòng)點(diǎn)，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁的方程為ρsin（θ+$\frac{π}{3}$）+2$\sqrt{3}$=0，展開可得：$\frac{\sqrt{3}}{2}ρsinθ$+$\frac{1}{2}ρcosθ$+2$\sqrt{3}$=0，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入即可得出直角標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)點(diǎn)Q（2cosθ，2sinθ），可得點(diǎn)Q到直線C₁的距離d=$2sin（θ+\frac{π}{6}）$+2$\sqrt{3}$，利用三角函數(shù)的單調(diào)性值域即可得出最小值．

解答 解：（1）曲線C₁的方程為ρsin（θ+$\frac{π}{3}$）+2$\sqrt{3}$=0，展開可得：$\frac{\sqrt{3}}{2}ρsinθ$+$\frac{1}{2}ρcosθ$+2$\sqrt{3}$=0，可得直角標(biāo)準(zhǔn)方程：$\sqrt{3}$y+x+4$\sqrt{3}$=0．
（2）設(shè)點(diǎn)Q（2cosθ，2sinθ），則點(diǎn)Q到直線C₁的距離d=$\frac{|2cosθ+2\sqrt{3}sinθ+4\sqrt{3}|}{2}$=$2sin（θ+\frac{π}{6}）$+2$\sqrt{3}$≥2$\sqrt{3}$-2，當(dāng)且僅當(dāng)$sin（θ+\frac{π}{6}）$=-1時(shí)取等號(hào)．
∴|PQ|的最小值為2$\sqrt{3}$-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．