Question

12．已知△ABC三內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且acosC+$\sqrt{3}$csinA-b-c=0，
（1）求角A的值；
（2）求函數(shù)f（x）=cos2x+4sinAsinx在區(qū)間$[\frac{2π}{7}，\frac{3π}{4}]$的值域．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，結(jié)合sinC≠0，可求得$sin（A-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，即可解得A的值．
（2）利用特殊角的三角函數(shù)值可求sinA，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，平方可求f（x）=-2（sinx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²+$\frac{5}{2}$，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可計算得解．

解答 （本題滿分14分）
解：（1）因為$acosC+\sqrt{3}csinA-b-c=0$，
由正弦定理得$sinAcosC+\sqrt{3}sinCsinA-sinB-sinC=0$，…（2分）
即$\sqrt{3}sinCsinA-cosAsinC-sinC=0$．
因為sinC≠0，得$\sqrt{3}sinA-cosA=1$，…（4分）
所以$sin（A-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，…（6分）
解得$A=\frac{π}{3}$．…（7分）
（2）由上可得$sinA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，…（8分）
所以$f（x）=cos2x+4sinAsinx=1-2{sin^2}x+2\sqrt{3}sinx=-2{（sinx-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）^2}+\frac{5}{2}$．…（11分）
因為$x∈[\frac{2π}{7}，\frac{3π}{4}]$，
所以$sinx∈[\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1]$，…（12分）
故函數(shù)f（x）的值域為$[\sqrt{6}，\frac{5}{2}]$． …（14分）

點(diǎn)評 本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，特殊角的三角函數(shù)值，正弦函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．