Question

5．設(shè)a，b，c，d∈R，求證：對(duì)于任意p，q∈R，$\sqrt{（a-p）^{2}+（b-q）^{2}}$+$\sqrt{（c-p）^{2}+（d-q）^{2}}$≥$\sqrt{（a-c）^{2}+（b-d）^{2}}$．

Answer 1

分析 設(shè)A（a，b），B（p，q），C（c，d），分ABC三點(diǎn)不共線，B在AC的延長(zhǎng)線，或反向延長(zhǎng)線上，B點(diǎn)在AC上三種情況討論，可得結(jié)論．

解答 證明：A（a，b），B（p，q），C（c，d） 則
|AB|=$\sqrt{（a-p）^{2}+（b-q）^{2}}$；
|BC|=$\sqrt{{（c-p）}^{2}+{（d-q）}^{2}}$；
|AC|=$\sqrt{{（a-c）}^{2}+{（b-d）}^{2}}$；
若ABC三點(diǎn)不共線，由三角形兩邊之和大于第三邊，有：
$\sqrt{{（a-p）}^{2}+{（b-q）}^{2}}$+$\sqrt{{（c-p）}^{2}+{（d-q）}^{2}}$＞$\sqrt{{（a-c）}^{2}+{（b-d）}^{2}}$； 
當(dāng)B在AC的延長(zhǎng)線，或反向延長(zhǎng)線上時(shí)，
$\sqrt{{（a-p）}^{2}+{（b-q）}^{2}}$+$\sqrt{{（c-p）}^{2}+{（d-q）}^{2}}$＞$\sqrt{{（a-c）}^{2}+{（b-d）}^{2}}$仍成立；
當(dāng)B點(diǎn)在AC上時(shí)，有：$\sqrt{{（a-p）}^{2}+{（b-q）}^{2}}$+$\sqrt{{（c-p）}^{2}+{（d-q）}^{2}}$=$\sqrt{{（a-c）}^{2}+{（b-d）}^{2}}$
綜上所述：$\sqrt{{（a-p）}^{2}+{（b-q）}^{2}}$+$\sqrt{{（c-p）}^{2}+{（d-q）}^{2}}$≥$\sqrt{{（a-c）}^{2}+{（b-d）}^{2}}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分類討論思想，兩點(diǎn)之間距離公式的應(yīng)用，難度中檔．