Question

已知函數(shù)y＝f(x)的圖象經過坐標原點，其導函數(shù)為f ′(x)＝6x－2，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，點(n，S_n)(n∈N^*)在函數(shù)y＝f(x)的圖象上．

(1)求數(shù)列{a_n}的通項公式；

(2)若數(shù)列{a_n}和數(shù)列{b_n}滿足等式：a_n＝ (n∈N^*)，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n.

Answer 1

 (1)由題意可設f(x)＝ax²＋bx＋c，

則f ′(x)＝2ax＋b＝6x－2，∴a＝3，b＝－2，

∵f(x)過原點，∴c＝0，∴f(x)＝3x²－2x.

依題意得S_n＝3n²－2n.n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1＝(3n²－2n)－[3(n－1)²－2(n－1)]＝6n－5，

n＝1時，a₁＝S₁＝1適合上式．

∴a_n＝6n－5(n∈N^*)．

相減得＝6，

∴b_n＝6·2ⁿ(n≥2)．b₁＝2a₁＝2，

∴b_n＝

∴T_n＝2＋6(2²＋2³＋…＋2ⁿ)＝3·2^n＋2－22.