Question

20．甲、乙兩名運動員進行射擊訓練，已知他們擊中目標的環(huán)數(shù)均穩(wěn)定在7，8，9，10環(huán)，且每次射擊成績互不影響，射擊環(huán)數(shù)的頻率分布表如表：
甲運動員

射擊環(huán)數(shù)	頻數(shù)	頻率
7	10
8	10
9	x
10	30	y
合計	100	1

乙運動員

射擊環(huán)數(shù)	頻數(shù)	頻率
7	6
8	10
9	z	0.4
10
合計	80

如果將頻率視為概率，回答下面的問題：
（Ⅰ）寫出x，y，z的值；
（Ⅱ）求甲運動員在三次射擊中，至少有一次命中9環(huán)（含9環(huán)）以上的概率；
（Ⅲ）若甲運動員射擊2次，乙運動員射擊1次，用ξ表示這三次中射擊擊中9環(huán)的次數(shù)，求ξ的概率分布列及Eξ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率分布表，由頻率=$\frac{頻數(shù)}{總數(shù)}$，能求出x，y，z．
（Ⅱ）由頻率分布表得甲運動員每次射擊中命中9環(huán)（含9環(huán)）以上的概率為0.8，由此能求出甲運動員在三次射擊中，至少有一次命中9環(huán)（含9環(huán)）以上的概率．
（Ⅲ）由ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（Ⅰ）由頻率分布表，得：x=100-10-10-30=50，
y=$\frac{30}{100}=0.3$，
z=80×0.4=32．
（Ⅱ）由頻率分布表得甲運動員每次射擊中命中9環(huán)（含9環(huán)）以上的概率為0.8，
∴甲運動員在三次射擊中，至少有一次命中9環(huán)（含9環(huán)）以上的概率：
p=1-${C}_{3}^{0}（0.2）^{3}$=0.992．
（Ⅲ）由已知得每次射擊中，甲擊中7環(huán)的概率為0.1，擊中8環(huán)的概率為0.1，擊中9環(huán)的概率為0.5，擊中10環(huán)的概率為0.3，
甲擊中7環(huán)的概率為0.075，擊中8環(huán)的概率為0.1，擊中9環(huán)的概率為0.4，擊中10環(huán)的概率為0.425，
由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=0.5×0.5×0.6=0.15，
P（ξ=1）=${C}_{2}^{1}×0.5×0.5×0.6$+0.5×0.5×0.4=0.4，
P（ξ=2）=$0.5×0.5×0.6+{C}_{2}^{1}0.5×0.5×0.4$=0.35，
P（ξ=3）=0.5×0.5×0.4=0.1，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	0.15	0.4	0.35	0.1

Eξ=0×0.15+1×0.4+2×0.35+3×0.1=1.42．

點評 本題考查頻率分布表的應用，考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意相互獨立事件概率乘法公式的合理運用．