Question

11．已知函數(shù)f（x）=Asin（3x+φ）（A＞0．x∈（-∞，+∞），0＜φ＜π）在x=$\frac{π}{12}$時(shí)取得最大值4．．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的解析式；
（3）若f（$\frac{2}{3}$α+$\frac{π}{12}$）=$\frac{12}{5}$．求tan2α的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，求出f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$；
（2）根據(jù)f（x）_max=f（$\frac{π}{12}$）求出A與φ的值即可；
（3）根據(jù)f（$\frac{2}{3}$α+$\frac{π}{12}$）的值求出cos2α與sin2α的值，再求出tan2α的值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=Asin（3x+φ），
∴f（x）的最小正周期為T(mén)=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{3}$；
（2）∵f（x）_max=f（$\frac{π}{12}$）=Asin（3×$\frac{π}{12}$+φ）=4，
∴A=4，且sin（$\frac{π}{4}$+φ）=1，
又∵0＜φ＜π，
∴$\frac{π}{4}$＜$\frac{π}{4}$+φ＜$\frac{5π}{4}$，
∴$\frac{π}{4}$+φ=$\frac{π}{2}$，解得φ=$\frac{π}{4}$，
∴f（x）=4sin（3x+$\frac{π}{4}$）；
（3）∵f（$\frac{2}{3}$α+$\frac{π}{12}$）=$\frac{12}{5}$，
∴4sin[3（$\frac{2}{3}$α+$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{4}$]=$\frac{12}{5}$，
化簡(jiǎn)得sin（2α+$\frac{π}{2}$）=$\frac{3}{5}$，
即cos2α=$\frac{3}{5}$，
∴sin2α=±$\sqrt{1{-cos}^{2}2α}$=±$\frac{4}{5}$，
∴tan2α=$\frac{sin2α}{cos2α}$=±$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了三角函數(shù)求值的應(yīng)用問(wèn)題，考查了計(jì)算能力與邏輯思維能力，是基礎(chǔ)題目．