Question

14．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面為等邊三角形，側(cè)面AA₁C₁C是正方形，E是A₁B的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱CC₁上的點(diǎn)．
（1）若F是CC₁的中點(diǎn)，求證：AE⊥平面A₁FB；
（2）當(dāng)V_B-AEF=9$\sqrt{3}$時(shí)，求正方形AA₁C₁C的邊長．

Answer 1

分析 （1）取AB的中點(diǎn)為M，連接EF，EM，CM，由已知條件推導(dǎo)出四邊形EMCF是平行四邊形，由AE⊥A₁B，AE⊥A₁B，能證明AE⊥平面A₁FB．
（2）設(shè)正方形AA₁C₁C的邊長為x，由已知條件推導(dǎo)出點(diǎn)F到平面EAB的距離即為點(diǎn)C到平面平面AA₁B的距離，由V_E-EABF=V_F-ABE，利用等積法能求出正方形的邊長．

解答 解：（1）取AB的中點(diǎn)M，連接EM，CM，
如圖所示：
，
∵E是A₁B的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱CC₁的中點(diǎn)，
∴$EM∥A{A_1}，F(xiàn)C∥A{A_1}，EM=FC=\frac{1}{2}A{A_1}$，
則四邊形EMCF是平行四邊形，
∴EF∥CM，
又△ABC為等邊三角形，側(cè)面AA₁C₁C是正方形，
∴AA₁=AB，AE⊥A₁B，CM⊥AB，
∵側(cè)棱AA₁⊥平面ABC，∴CM⊥AA₁，
∴CM⊥平面A₁AB，∴EF⊥平面A₁AB，
∴EF⊥AE，
又AE⊥A₁B，A₁B∩EF=E，
∴AE⊥平面A₁FB；
（2）設(shè)正方形AA₁C₁C的邊長為x，
∵CC₁∥平面A₁AB，
∴點(diǎn)F到平面EAB的距離即為點(diǎn)C到平面A₁AB的距離h，
易知$h=\frac{{\sqrt{3}}}{2}x$，
$又{V_{B-AEF}}={V_{F-ABE}}，且{V_{F-ABE}}=\frac{1}{3}{S_{△ABE}}•h=9\sqrt{3}$，
$即\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×x×\frac{x}{2}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}x=9\sqrt{3}$，
∴x³=216，x=6，
∴正方形AA₁C₁C的邊長為6．

點(diǎn)評 本題考查直線與平面垂直的證明，考查正方形的邊長的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．