Question

18．如圖，在矩形ABCD中，AB=2BC，E為線段AB的中點(diǎn)，將△ADE沿直線DE翻折成△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCD，F(xiàn)為線段A′C的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：A′D⊥平面A′EC；
（Ⅱ）設(shè)M為線段DE的中點(diǎn)，求直線FM與平面A′EC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接CE，A′M，根據(jù)空間中的垂直關(guān)系，可以證明DA′⊥平面A′EC；
（Ⅱ） 作MH⊥A′E于點(diǎn)H，連接HF，根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論，得出∠MFH為MF與平面A′EC所成的角，
計(jì)算∠MFH的正切值，從而求出它的正弦值．

解答 解：（Ⅰ）證明：連接CE，A′M，如圖所示；
設(shè)BC=1，則AB=2，AE=BE=1，
∵AE=AD，且∠A=90°，M為DE的中點(diǎn)，∴AM⊥DE，
∴∠DA′E=90°，
A′M⊥DE；
又∵平面A′DE⊥平面ABCD，平面A′DE∩平面ABCD=DE，∴A′M⊥平面ABCD，
∴A′M⊥CE；
又∵A′E∩CE=E，∴DA′⊥平面A′EC；
（Ⅱ） 作MH⊥A′E于點(diǎn)H，連接HF，則MH∥DA′，F(xiàn)H∥CE；
由（Ⅰ）知，DA′⊥平面A′EC，∴MH⊥平面A′EC，
∴∠MFH為MF與平面A′EC所成的角，
∴tan∠MFH=$\frac{MH}{FH}$=$\frac{{\frac{1}{2}A}^{′}D}{\frac{1}{2}CE}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴sin∠MFH=$\frac{MH}{FM}$=$\frac{1}{\sqrt{{1}^{2}{+（\sqrt{2}）}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．          （15分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間中的平行與垂直關(guān)系的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了空間角的計(jì)算問(wèn)題，考查了空間想象能力與邏輯思維能力，是綜合性題目．